Hoe de Soemeriërs telden

We werken elke dag met de voor ons gemakkelijke Indische cijfers -wel eens foutief Arabische cijfers genoemd. Nochtans zijn deze zo nuttige en flexibele cijfers nog maar relatief korte tijd in voege. Cijfers kwamen voor het eerst voor in Soemerië, zo’n tienduizend jaar geleden. Hier volgen enkele cijfersystemen en hun gebruik.

Tablet van Lagash met Soemerische cijfers

Eerst moeten we een hoogst belangrijke vraag stellen: waarom gebruiken we een decimaal om te tellen? Het staat vast dat de cijfers met basis 10 niet de functionaliteit hebben van het binaire systeem dat door computers wordt gebruikt, of van het wendbare hexadecimale systeem. Maar ondanks alle technologische vooruitgang, lijkt ons huidig systeem bijzonder hardnekkig en ziet het er niet naar uit dat het weldra zal worden vervangen. De reden is eenvoudig: in een ver verleden, toen de cijfers nog geen abstracte symbolen waren maar aantallen met bijvoorbeeld mensen of dieren werden voorgesteld, waren de handen de enige rekenmachines van de mens. Vermits we tien vingers hebben, werd het decimale systeem al gauw het gangbare systeem. Vreemd genoeg erfden we dit systeem van de Grieken, die het op hun beurt hadden overgenomen van de Egyptenaren. Vóór hen waren er de Soemeriërs, die een veel ingewikkelder wiskundig systeem hadden dat geen rekening hield met het Egyptische bijgeloof. Dat systeem was een sexagesimaal systeem, het eerste numerieke systeem van de mens.

Zoals we daarnet al vermeldden kende men vroeger geen abstracte begrippen om hoeveelheden aan te geven. In soemerië bestonden aanvankelijk ontelbare mogelijkheden om éénzelfde getal te schrijven, naargelang het voorwerp dat men aan het tellen was. Zo werd een goudstuk voorgesteld door een specifiek symbool terwijl vee door een ander specifiek symbool werd voorgesteld. Er bestonden evenmin andere symbolen dan één. Zo werd twee voorgesteld door tweemaal het symbook voor één.

Na verloop van tijd zorgden de handel en de bevolkingsgroei ervoor dat de manier van tellen evolueerde en de cijfer begonnen stilaan hoeveelheden voor te stellen in plaats van individuele voorwerpen. In ieder geval was het dankzij de ontwikkeling van een sexagesimaal cijfersysteem dat hoeveelheden van duizenden konden worden geteld, iets wat onmogelijk was met het tellen van één per één. Hoewel we niet in detail willen treden, leggen we hier kort uit hoe tellen volgens het Soemerische stelsel in z’n werk gaat:

Sexagesimaal systeem

De grafiek hierboven gebruikt Soemerische cijfers gebaseerd op het sexagesimale stelsel. We moeten van rechts naar links lezen en beginnen dus met een kleine kegel. Deze kegel betekent “één van iets” -een schaap, een persoon, enz. Eenmaal we aan tien voorwerpen komen, kunnen deze worden voorgesteld door een circel. Naarmate de handel groeide en de aantallen stegen, werd een grote kegel gebruikt om 10 cirkels voor te stellen. Later werd een nieuw cijfer toegevoegd: een grote kegel met een cirkel erin, die tien grote kegels voorstelde. Indien men aan een hoeveelheid voorwerpen kwam equivalent aan zes van die kegels met een kleine cirkel erin, dan kon men een grote cirkel gebruiken om die hoeveelheid voor te stellen. Het laatste cijfer ten slotte, dat tien grote cirkels voorstelde, was een grote cirkel met een kleine cirkel erin. Op die manier liet het sexagesimale stelsel toe om 10 x 6 x 10 x 6 x 10 voorwerpen voor te stellen, hetzij 36000 in ons tientallig stelsel.

Vreemd genoeg bezaten de Soemeriërs geen eenvormig numeriek stelsel maar gebruikten diverse stelsels naargelang de taak die ze moesten uitvoeren. Om porties te tellen bijvoorbeeld, gebruikte men een bisexagesimaal stelsel dat discrete tellingen tot 7200 eenheden toeliet. Dat leverde en levert nog steeds moeilijkheden op voor antropologen die de Soemerische geschriften bestuderen. De combinatie van sexagesimale cijfers en de rekenkunde liet -voor die tijd- ongelooflijk grote getallen toe.

Bisexagesimaal systeem

Noot 1: Velen denken ongetwijfeld dat het Soemerische sexagesimale stelsel samen met de Soemerische beschaving ten onder ging, maar niets is minder waar. Het stelsel wordt nog in heel wat moderne toepassingen gebruikte, zoals in de manier waarop we graden meten maar ook de tijd. Op een uurwerk verandert het uur elke zestig minuten en de minuten wijzigen elke zestig seconden, net zoals de Soemerische sexagesimale hoeveelheden werkten.

Noot 2: De cijfers waren kegels en cirkels. Hoewel de kegel en de cirkel makkelijk voor te stellen waren door ze op een kleitablet te drukken, kozen de Soemeriërs toch voor moeilijker manieren om ze op hun aantekeningen aan te brengen.

Noot 3: Vermits de Soemerische wiskunde geen nul bezat, was het bijzonder makkelijk om getallen te verwarren.

(bron)